Multiplicación gráfica

Todo el machaquín de las tablas de multiplicar, dos por tres, siete por cinco, rápido, ocho por cuatro, seis por tres, ¿ya te sabes la del nueve?… Una infancia de memorización matemática y ahora resulta que se puede multiplicar gráficamente.

Claro que el método sólo es operativo con números de pocas cifras y mejor si son números bajos. No es que no funcione, que sí que lo hace, sino que en caso contrario se forma un cacao de no te menees.

Pero no deja de ser curioso, y mucho, que se pueda multiplicar sin utilizar las tablas.

¿Qué cualquiera lo hace?, ah sí, claro, con la calculadora. Pero con el siguiente video aprenderemos a multiplicar sin usar las tablas ni la calculadora.

El signo "="

Las dos rayas "=" que indican igualdad comenzó a utilizarlas el  matemático inglés Robert Recorde hace más de cuatrocientos años.

En uno de sus libros cuenta que eligió ese  signo porque "dos cosas no pueden ser más iguales que dos rectas paralelas".   5+4  "="

Cuadrados mágicos en el arte

En la China se dice que, en los tiempos primitivos, el sabio Yü descubrió en el Río Amarillo una tortuga “divina”, cuyo caparazón estaba mágicamente decorado. Lo que tenía eran los números naturales del 1 al 9, dispuestos en forma de cuadrado, de tal forma que la suma horizontal, vertical y diagonal de los grupos de tres cifras formados daba siempre la misma cantidad.

Lo que hemos descrito que tenía la tortuga de la leyenda en su caparazón es lo que hoy se conoce como un cuadrado mágico, que es una disposición de número enteros en una tabla cuadrada, es decir, con el mismo número de filas que de columnas, de tal modo que la suma de los números de cada fila, de cada columna y de las dos diagonales sea siempre la misma. Hay quién no le exige a las diagonales cumplir esta propiedad, caso que algunos llaman cuadrado latino. Al resultado de esas sumas se le llama constante mágica. Se pueden construir infinidad de cuadrados mágicos y su formación depende de la resolución de varias ecuaciones de primer grado en un número inferior al de las incógnitas, exigiendo que las soluciones sean números enteros.

En China e India los cuadrados mágicos son conocidos desde antes de la era cristiana, pero en Europa se introdujeron durante el Renacimiento y llegaron a utilizarse como amuletos que llevaba la gente colgada de una chapa, pues se les atribuía poderes mágicos.

También se pueden encontrar cuadrados mágicos en el arte. El más famoso está incluido en un grabado de Alberto Durero, llamado Melancolía y también podemos encontrar un cuadrado mágico en la fachada del templo de la Sagrada Familia, iniciado por el arquitecto Gaudí, en Barcelona.

Melancolía de Alberto Durero

Alberto Durero, pintor alemán nacido en Nuremberg, realizó en 1514 el grabado, que se puede ver en el Germanisches National Museum de Nuremberg o en la Bibliothèque nationale de France, Paris. En este grabado, Durero pintó en lugar destacado un cuadrado mágico de orden 4. Fue realizado en plancha de cobre y constituye junto con El caballero, la muerte y el diablo y San Jerónimo en su estudio un conjunto de tres de los mejores grabados de Durero. Estos grabados están llenos de detalles enigmáticos. La Melancolía

En Melancolía una figura alada piensa rodeada de instrumentos científicos. El cuadrado mágico se puede ver en la parte superior derecha, debajo de una campana. Su constante mágica es 34 y el contenido:

16 3 2 13


5 10 11 8


9 6 7 12


4 15 14 1


El cuadrado está formado por los números del 1 al 16, distribuidos en otras tantas casillas (cuatro por cada lado), la suma de los números de cualquier lado es 34, una cifra asociada a Júpiter y a las virtudes atribuidas a este planeta. Alberto Durero, muy aficionado a los juegos numéricos, incluyó también la fecha de ejecución de la obra, que se puede leer combinando las dos casillas centrales de la última fila: 15-14.


La sagrada Familia de Barcelona

También en el siglo XX se han utilizado los cuadrados mágicos. Otro lugar donde un artista ha incluido un cuadrado mágico es en una de las fachadas de la Sagrada Familia de Barcelona, el templo ideado y comenzado a construir por Gaudí. Se encuantra en la fachada de la Pasión, junto al grupo escultórico del Beso de Judas, y se debe a Josep M. Subirachs, escultor que en 1987 recibió el encargo de proseguir el recubrimiento escultórico de esta Fachada.

Como se puede ver el cuadrado mágico, también 4 x 4, es

1 14 14 4


11 7 6 9


8 10 10 5



13 2 3 15

La constante mágica en este caso es 33 que coincide con la edad que tenía Jesucristo cuando le crucificaron. La única pega de este cuadrado mágico es que tiene dos números repetidos, lo que quizás le quite algún mérito pero seguramente era necesario para darle el sentido espiritual pretendido.

Un papel doblado

El espesor de un papel común es más o menos un décimo de milímetro.
Si lo doblamos en dos, el grosor se duplica, y se volverá a duplicar cada vez que lo doblemos.
Es difícil imaginarse con qué pasmosa velocidad aumentaría el espesor de papel si lo siguiéramos doblando y doblando: con sólo 20 dobleces llegaría a tener cincuenta metros.
Pero eso no es nada: con 28 dobleces superaría los 8800 metros de altura del monte Everest y con 38 dobleces los doce mil kilómetros que mide el diámetro de la Tierra.
Y eso tampoco es nada: si seguimos doblando el papel, después de 43 dobleces el espesor superaría los 380 mil kilómetros que nos separan de la Luna, y después de 52 dobleces, los ciento cincuenta millones de kilómetros que nos separan del Sol.
Pero aun así, no estamos más que al principio: después de haberlo doblado 58 veces, el espesor del papel será superior al ancho del sistema solar (que es aproximadamente doce mil millones de kilómetros) y con 70 dobleces llegaría más allá de Alfa Centauro, que es la estrella más cercana a la Tierra y que se encuentra a 4 años luz (un año luz, la distancia que la luz recorre en un año, equivale a diez millones de millones de kilómetros).
Con 86 dobleces el papel sería más ancho que nuestra galaxia y con 90 dobleces alcanzaría Andrómeda, la galaxia más cercana a la Tierra y que se encuentra a dos millones de años luz.
Con 100 dobleces, se encontraría a mitad de camino de los objetos más lejanos observados en el universo, a diez mil millones de años luz, y con una doblez más, sería más ancho que todo el universo conocido.

Estos sorprendentes resultados se deben al rápido crecimiento de las progresiones geométricas (1, 2, 4, 8, 16, 32, etc.), que aumentan a una velocidad pasmosa y anti-intuitiva: hay una leyenda que vincula este fenómeno al origen del ajedrez.
Según esta leyenda, cuando Sissa, el inventor hindú del gran juego, se lo presentó al rey y éste le preguntó qué quería como recompensa, Sissa pidió “algo muy simple: un grano de trigo en la primera casilla, dos en la segunda, cuatro en la tercera, ocho en la cuarta y así siguiendo hasta completar el tablero”.
El rey se asombró por la modestia de Sissa, accedió inmediatamente, ordenó que trajeran un poco de trigo y se empezara a llenar las casillas.
Podemos (o tal vez no podemos) imaginarnos la sorpresa del rey cuando comprobó que los granos se consumían con pasmosa rapidez y que todo el trigo del reino era insuficiente para satisfacer el pedido de Sissa.
El rey había aprendido, al mismo tiempo que el ajedrez, el fantástico crecimiento de una progresión geométrica: los granos pedidos por Sissa crecen con la misma rapidez que el espesor del papel do­blado del que hablábamos al principio.

Puede ser que te parezca inverosímil, pero con un poco de paciencia puede convencerse: si no quieres arriesgarte a doblar noventa veces un papel y salirte de la galaxia, puedes probar la “variante Sissa”.
Consige o dibuja un tablero de ajedrez (64 casillas) y reemplaza los granos de trigo (difíciles de conseguir en nuestra cultura urbana) por granos de arroz, que para el caso es lo mismo.
Verás que empezando con un grano en la primera y duplicando la cantidad de granos en cada casilla es insuficiente todo el arroz existente en el mundo para llenar el tablero.
Y comprobarás, de paso, que el arroz, para las progresiones geométricas, es mejor que el trigo; cuando te resulte imposible seguir, o simplemente cuando te canses o aburras, puede usar el arroz para cocinarte una paella.

Números perfectos

¿A quién no le gustaría tener en su casa un número perfecto?

Los números perfectos impresionaron mucho a los matemáticos de la Antigüedad, muy acostumbrados a jugar con los números. Los griegos y los judíos (antiguos naturalmente) usaban letras para escribir las cifras, con lo cual cada número se podía asociar con una palabra y permitía sacar conclusiones esotéricas que harían palidecer a cualquier adicto a la quiniela. Por ejemplo’ el número 666 asociado con “la bestia” en el Apocalipsis porque la manera de estar escrito alude al emperador Nerón, que para los primeros cristianos era (y con razón) poco menos que un monstruo. Sin embargo, 666 no es un número perfecto.

En cambio, el pálido 6 sí lo es. Un “número perfecto” es aquel que coincide con la suma de todos sus divisores, exceptuado él mismo. Y el 6 cumple con el requisito: sus divisores son 1, 2 y 3, y 1+2+3 es exactamente igual a 6. Los comentaristas tanto del Antiguo como del Nuevo Testamento no dejaron de asombrarse de que el número de días que a Dios le tomó crear el mundo (descartando el séptimo día de descanso) fuera, precisamente un número perfecto. Esta coincidencia no quedó simplemente en perplejidad sino que llegó a usarse como argumento teológico. Según San Agustín no obstante haber podido crear Dios el mundo en forma instantánea, prefirió emplear seis días porque “la perfección del número 6 significa la perfección del

Y si se tiene en cuenta que el siguiente número perfecto es el 28 (suma de 1+2+4+7+14), más o menos el tiempo que toma el ciclo de la Luna, es de suponer que durante mucho tiempo los calculistas se lanzaran a la caza de números perfectos. Pero los números perfectos son difíciles de cazar. Y son pocos. Después del pequeño 6 y el vigoroso 28, el número perfecto siguiente (el tercero) es 496,el cuarto es 8.128 y el quinto... ¡33.550.336!

El sexto ya anda por los ocho mil millones. El octavo ya es un número de diecinueve cifras. Hoy se conocen veinticuatro “números perfectos”, de longitudes verdaderamente inverosímiles: el vigésimo cuarto número perfecto tiene más de doce mil cifras. Naturalmente, estos números se manejan e investigan mediante computadoras.

Y hay misterios, misterios sin resolver. Por empezar, no se sabe si existe algún número perfecto impar. Tampoco se sabe si existen infinitos números perfectos. Nadie debería extrañarse si mañana mismo alguien anuncia haber descubierto el vigésimo quinto número perfecto: no lo intente el lector, ya que es una tarea ingrata. Y vale lo dicho en 1811 por el descubridor del noveno número perfecto (demasiado largo para escribirlo aquí, ya que tiene treinta y siete cifras). “Los números perfectos son meras curiosidades sin utilidad alguna”.